module 0Trinitarianism.Quest4 where

open import 0Trinitarianism.Preambles.P4

data Id {A : Type} : (x y : A) → Type where
  rfl : {x : A} → Id x x

private
  variable
    A : Type
    x y z w : A

sym : Id x y → Id y x
sym rfl = rfl

trans : Id x y → Id y z → Id x z
trans rfl rfl = rfl

_*_ : Id x y → Id y z → Id x z
_*_ = trans

rfl* : (p : Id x y) → Id (rfl * p) p
rfl* rfl = rfl

*rfl : (p : Id x y) → Id (p * rfl) p
*rfl rfl = rfl

*sym : (p : Id x y) → Id (sym p * p) rfl
*sym rfl = rfl

sym* : (p : Id x y) → Id (p * sym p) rfl
sym* rfl = rfl

assoc : (p : Id x y) (q : Id y z) (r : Id z w) → Id ((p * q) * r) (p * (q * r))
assoc rfl rfl rfl = rfl

outOfId : (M : (y : A) → Id x y → Type) → M x rfl → {y : A} → (p : Id x y) → M y p
outOfId M x rfl = x